Index laws 指数法则 · Edexcel IAL Mathematics P1（考试代码 WMA11） | PassMarkedu A-Level

Index laws 描述同 base 的幂在乘法、除法和乘方下如何合并。设 m、n 为正整数：同 base 相乘，指数相加，a^m \times a^n = a^{m+n}；同 base 相除，指数相减，a^m \div a^n = a^{m-n}，此时必须 a \neq 0；幂的乘方，指数相乘，(a^m)^n = a^{mn}；积的乘方，指数分配给每个 factor，(ab)^n = a^n b^n。用这些法则化简乘积、幂与 algebraic fraction；它们也是把 Index laws 推广到 all rational exponents 的基础，negative 与 fractional indices 在 1.4 节展开。

• 用 Index laws 化简同 base 表达式的乘积与幂：先相乘系数，再对同 base 的指数相加合并。
• 化简 algebraic fraction：把分子的每一项分别除以整个分母，等幂与系数都化简完后再合并同类项。
• 建立正整数指数的 Index laws，作为规格目标 all rational exponents 的基础；negative 与 fractional indices 在 1.4 节展开。

四个 Index laws

先固定记号：在 a^n 中，a 是 base，n 是 index（也叫 power 或 exponent）。设 m、n 为正整数，对 base a 有四个法则。同 base 相乘，指数相加：a^m \times a^n = a^{m+n}；同 base 相除，指数相减：a^m \div a^n = a^{m-n}，此时必须 a \neq 0；幂的乘方，指数相乘：(a^m)^n = a^{mn}；积的乘方，指数分配给每个 factor：(ab)^n = a^n b^n。相乘与相除法只适用于同 base 的幂。本笔记覆盖正整数指数的基础，laws 在 1.4 节推广到 negative 与 fractional indices。

化简乘积与幂

系数与每个变量各自的幂分开处理：先相乘系数，再对每个 base 的幂用相乘法。例如 4x^3y \times 2x^2y^2 = (4 \times 2) \times x^{3+2} \times y^{1+2} = 8x^5y^3。若某个 factor 本身是积的乘方，先用 (ab)^n = a^n b^n 展开，再与其他 factor 合并。Index laws 只对同 base 的幂有效，不同 base 的幂保持为分开的 factor。

化简 algebraic fraction

把分子的每一项分别除以整个分母：幂用相除法则（要求分母中的 base 非零），系数直接相除。等幂与系数都化简完后再合并同类项。例如 \frac{4x^5 + 8x^3}{2x} = \frac{4x^5}{2x} + \frac{8x^3}{2x} = 2x^4 + 4x^2，其中 x \neq 0。